在数学中，函数的极限是一个非常重要且基础的概念，它是很多重要定理的基础，包括微积分中的导数、积分、泰勒展开等。在本文中，我们将从定义、性质、计算等方面详细介绍函数极限。
一、定义
函数的极限是指当自变量x无限接近一点a时，与函数f(x)相应的函数值L无限地接近于一个确定的常数L，即：
lim┬(x→a)?〖f(x)〗=L
其中，a为函数的极限点。这个定义是比较抽象的，下面我们将从几何、物理等角度来解释它。
几何意义：函数的极限可以被理解为一个点在某一轴上无限地靠近另一个点的过程，这个过程与曲线（或者说函数图像）的趋近有关。举个例子，当一条曲线趋近一定的形状时，我们可以描绘出它与某一轴之间的距离，这个距离会随着曲线向其极限点的靠近而逐渐缩小。
物理意义：在自然界中，很多现象都可以被表示为函数的形式，例如电流随时间的变化、物体的速度随时间的变化等。这些物理现象都具有一定的极限值，因此函数的极限可以被理解为物理现象的极限状态。例如，当电流的变化趋于稳定时，我们称之为电流极限；当物体的速度达到一定的极限，我们称之为物体的极速。
二、性质
函数的极限具有以下几个基本性质：
1. 极限唯一性
函数的极限是唯一的。这意味着当一个函数具有极限时，它只能有一个。
2. 局部有界性
如果一个函数在某个区间内有极限，那么它在这个区间内一定有界。这意味着函数图像在这个区间内不能无限逼近某一轴，否则会失去有界性。
3. 局部单调性
如果一个函数在某个区间内存在极限，则它在这个区间内必然是单调的。这是因为如果它不单调，那么它就会在某些点上存在两个极限或无极限。
4. 代数运算
函数的极限可以进行代数运算，包括加减乘除、幂函数、复合函数等。具体来说，如果一个函数的极限存在，那么它的和、差、积、商、幂函数、复合函数的极限都存在，并且满足相应的极限性质。
三、计算
计算函数的极限是很多题目中常见的考点。在计算函数极限时，我们通常需要考虑以下几种情况：
1. 有理分式函数
在计算有理分式函数的极限时，通常需要使用“分子分母通分+因式分解”的方法。例如，计算函数lim┬(x→0)?〖(x?-x3)/(2x2+3x-2)〗，我们可以将分母因式分解为2x2+3x-2=(2x-1)(x+2)，然后将分母中的两个因式与分子通分，最终得到：
lim┬(x→0)?〖(x?-x3)/(2x2+3x-2)〗=lim┬(x→0)?〖(x3(1-x))/(x(2x-1)(x+2))〗=0
2. 无理函数
在计算无理函数的极限时，通常需要使用一些特殊的技巧。例如，计算函数lim┬(x→∞)?(x2-3x+1)/(2x3+5x2+1)，我们可以将分子与分母同时除以x3，得到：
lim┬(x→∞)?(x2-3x+1)/(2x3+5x2+1)=lim┬(x→∞)?(1/x-3/x2+1/x3)/(2+5/x+1/x3)
由于x趋近于无穷大时，分母中的常数项及其低阶项对极限的影响都可以忽略不计，因此我们可以得到：
lim┬(x→∞)?(x2-3x+1)/(2x3+5x2+1)=lim┬(x→∞)?(1/x)/(2+0+0)=0
3. 三角函数
在计算三角函数的极限时，通常需要使用一些基本的三角恒等式。例如，计算函数lim┬(x→0)?(sin2x-sin5x)/(x3+2x?)，我们可以利用以下公式：
sin2x=2sinx·cosx
sin5x=sin(2x+3x)=sin2x·cos3x+cos2x·sin3x
将公式代入原式中，得到：
lim┬(x→0)?(sin2x-sin5x)/(x3+2x?)=lim┬(x→0)?(2sinx·cosx-(2sinx·cos3x+cos2x·sin3x))/(x3+2x?)
使用泰勒展开将三角函数展开，得到：
cosx=1-x2/2+O(x?)
cos3x=1-9x2/2+O(x?)
sinx=x+O(x3)
sin3x=3x-27x3/2+O(x?)
将展开式带入原式中得到：
lim┬(x→0)?(2sinx·cosx-(2sinx·cos3x+cos2x·sin3x))/(x3+2x?)=lim┬(x→0)?(2x-(2x-69x3/4+2x+O(x?))))/(x3+2x?)
利用极限的代数运算得到：
lim┬(x→0)?(2x-(2x-69x3/4+2x+O(x?))))/(x3+2x?)=lim┬(x→0)?(69x3/4)/(x3+2x?)=69/8
综上所述，函数的极限是一个非常重要且基础的概念，它在数学中的应用非常广泛。在计算函数极限时，我们需要根据具体的函数形式采用不同的方法，例如有理分式函数可以利用因式分解和通分的方法，无理函数可以通过除以最高次项化简，三角函数可以利用泰勒展开来进行计算。最重要的是，我们要牢记函数极限的基本定义和性质，才能更好地理解和应用它。
