题目：证明函数 $f(x)=x^2+x\sin(\frac{1}{x})$ 在 $[0,1]$ 内可导，但导数不连续。
答：我们先证明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 内可导。
对于 $x\neq 0$，我们有 $f'(x)=2x+\sin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$，由于 $\sin(\frac{1}{x})$ 和 $\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$ 都是连续函数，因此 $f'(x)$ 也是连续函数，故 $f(x)$ 在 $x\neq 0$ 处可导。
对于 $x=0$，我们可以通过极限定义证明 $f'(0)$ 存在且等于 $0$。具体地，我们有：
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}(x+\sin(\frac{1}{x}))=0$$
因此 $f'(0)=0$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处也可导。
综上所述，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 内可导。
下面我们需要证明 $f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上不连续。我们知道，若 $f'(x)$ 在某点 $x_0$ 处存在有限极限，则 $f'(x)$ 在 $x_0$ 处连续。因此，我们只需要证明 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处不存在有限极限即可。
我们可以分别考虑两个极限 $\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)$ 和 $\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)$，如果它们不相等，或者其中一个不存在有限极限，那么 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处不存在有限极限。
对于 $\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)$，我们有：
$$\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+}(2x+\sin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x}))=\infty$$
这是因为 $\sin(\frac{1}{x})$ 的振幅越来越大，而 $\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$ 的绝对值越来越小，因此当 $x$ 趋近于 $0^+$ 时，$f'(x)$ 会趋近于正无穷。
对于 $\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)$，我们有：
$$\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0^-}(2x+\sin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x}))=-\infty$$
这是因为 $\sin(\frac{1}{x})$ 的振幅越来越大，而 $\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$ 的绝对值越来越大，因此当 $x$ 趋近于 $0^-$ 时，$f'(x)$ 会趋近于负无穷。
因此，$f'(x)$ 在 $x=0$ 处不存在有限极限，故它在 $[0,1]$ 上不连续。
至此，我们完成了对该问题的证明。
另外，我们还可以通过其他方法来证明该问题。比如，我们可以分别考虑 $x>0$ 和 $x<0$ 的情况，然后通过定义证明 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处不存在有限极限。或者，我们可以利用拐点的性质，证明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上存在拐点，从而导出 $f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上不连续。这些方法都有它们的优点和局限性，可以供感兴趣的读者深入探究。
