点到平面的投影怎么求

设两个非零向量a与b的夹角为θ，则将|b|·cosθ 叫做向量b在向量a方向上的投影或称标投影。在式中引入a的单位矢量a（A），可以定义b在a上的矢投影。

由定义可知，一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数量。当θ为锐角时，它是正值；当θ为直角时，它是0；当θ为钝角时，它是负值；当θ=0°时，它等于|b|；当θ=180°时，它等于-|b|。

设单位向量e是直线m的方向向量，向量AB=a，作点A在直线m上的射影A'，作点B在直线m上的射影B'，则向量A'B'叫做AB在直线m上或在向量e方向上的正射影，简称射影。

已知一个平面Plane以及任一点Vi(xi,yi,zi)Vi(xi,yi,zi)，计算点ViVi到平面Plane的投影。

给定的平面Plane的方程为：

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0；

设过点ViVi到平面Plane的垂足记作Vi′(x,y,z)Vi′(x,y,z)，则直线ViVi′ViVi′与平面的法向量n→n→平行，直线ViVi′ViVi′的参数方程为：

{x=xi−Aty=yi−Btz=zi−Ct{x=xi−Aty=yi−Btz=zi−Ct；

然后将点(x,y,z)(x,y,z)带入平面方程，求出tt:

t=Axi+Byi+Czi+DA2+B2+C2t=Axi+Byi+Czi+DA2+B2+C2；

再将tt带入直线的参数方程就求出了投影点Vi′(x,y,z)Vi′(x,y,z)。