雅可比行列式通俗解释

雅可比行列式（Jacobian determinant）是一个矩阵的重要属性，通常用于计算坐标变换中的曲线、曲面积分以及变量变换中的概率密度函数等。

简单来说，雅可比行列式可以被看作一个坐标变换的比例因子。在二维空间中，如果有一个从 (x,y) 变换到 (u,v) 的映射关系 f(x,y)=(u,v)，那么它的雅可比行列式 J 作为坐标变换的比例因子可以被表示为：

J = ∂u/∂x * ∂v/∂y - ∂u/∂y * ∂v/∂x

在三维空间中，假设有一个从 (x,y,z) 变换到 (u,v,w) 的映射关系 f(x,y,z)=(u,v,w)，那么它的雅可比行列式 J 可以被表示为：

J = ∂u/∂x * (∂v/∂y * ∂w/∂z - ∂v/∂z * ∂w/∂y) - ∂u/∂y * (∂v/∂x * ∂w/∂z - ∂v/∂z * ∂w/∂x) + ∂u/∂z * (∂v/∂x * ∂w/∂y - ∂v/∂y * ∂w/∂x)

这些式子看起来很复杂，但它们的本质意义非常简单。雅可比行列式 J 的实际作用是衡量函数在变量变换时的比例因子。

雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian) 它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式 .事实上,在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下,它就是函数组的微分形式下的系数矩阵（即雅可比矩阵）的行列式.若因变量对自变量连续可微,而自变量对新变量连续可微,则因变量也对新变量连续可微.这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证.也类似于导数的连锁法则.偏导数的连锁法则也有类似的公式；这常用于重积分的计算中.如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零,它就处处为正或者处处为负.如果雅可比行列式恒等于零,则函数组是函数相关的,其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数.