根式判别法（柯西判别法）
正项级数
正项级数
正项级数
设 为正项级数，且存在某正常数 及正常数 。
正项级数
正项级数
正项级数
（1）若对一切 ，成立不等式 ，则级数 收敛；
正项级数
正项级数
正项级数
（2）若对一切 ，成立不等式 ，则级数 发散；
柯西判别法的极限形式：
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
设
为正项级数，且
，则：
（1）当
时，级数
收敛；
正项级数
正项级数
（2）当 ，级数 发散。
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
注意：若 ，这时用根式判别法不能对级数的敛散性做出判别，因为它可能是收敛的，也可能是发散的，例如级数 和 ，他们的比式极限都是 ，但 是收敛的， 却是发散的。
积分判别法
积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
设 为 上非负减函数，那么正项级数 与反常积分 同时收敛或同时发散。
典例
p级数
正项级数
正项级数
正项级数
讨论 级数 的收敛性，其中常数 。
解：分两种情况讨论，
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
（1）当 ， 级数的各项大于等于调和级数 的对应项，即 ，由于调和级数发散，因此根据比较判别法可知，此时 级数发散。
正项级数
正项级数
正项级数
（2）当 时，记 级数的部分和为： .
正项级数
正项级数
正项级数
当 时，取 ，则有 ，所以有：
正项级数
正项级数
从而
正项级数
即有 。
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
这表明当时， 级数的部分和有界。因此，当时，级数收敛。
例2
正项级数
讨论正项级数的敛散性。
解：
正项级数
正项级数
正项级数
（1）当时，对一切都有，因此级数发散。
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
正项级数
（2）当时，对一切都有，而为收敛的等比数列，因此级数收敛。
柯西判别法：如果一个级数的每一项都是正的，那么计算a[n]开n次方的n趋于无穷时的上极限；如果这个值是大于1的，那么这个级数是发散的；如果小于1，那么级数是收敛的。如果等于1，那么还需要更精细的比值判别法。
判断反常积分的收敛有比较判别法和Cauchy判别法。定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。
反常积分存在时的几何意义是函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。
大家在关注
