泰勒公式展开式推导_泰勒展开公式

泰勒公式是一种将一个函数在某一点附近展开成无限项多项式的方法，其推导过程如下：

设$f(x)$在$x=a$处有$n$阶导数，则有：

$$f(x)=

sum_{k=0}^{n}

frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+

frac{f^{(n+1)}(

xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

其中，$

xi$是$x$和$a$之间的某个值，即$x$和$a$之间的某个点。

这里解释一下上式中的各个符号：

- $f^{(k)}(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的$k$阶导数；

- $k!$表示$k$的阶乘；

- $(x-a)^k$表示$(x-a)$的$k$次方。

接下来我们来证明上述公式。

首先，我们定义一个新函数：

$$R_n(x)=f(x)-

sum_{k=0}^{n}

frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$

这里，我们将$f(x)$用其在$a$处展开成$n$次多项式来逼近它自己。然后，我们要证明当$n

rightarrow

infty $时，有：

$$R_n(x)

rightarrow 0$$

也就是说，在无限次展开后，误差会趋近于零。

接着，我们对上式进行求导，并利用了求导的线性性质：

$$R_n^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)-

sum_{j=0}^{n}

frac{f^{(j+k)}(a)}{j!}(a-a)^j=f^{(k)}(a)-f^{(k)}(a)=0$$

这里，我们用到了当$j

因此，我们得到：

$$R_n(x)=

frac{R_n^{(n+1)}(

xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

这里，我们用到了拉格朗日中值定理。注意到当$n

rightarrow

infty $时，$

xi$将趋近于$a$。因此，

$$

lim_{n

rightarrow

infty }R_n(x)=

lim_{n

rightarrow

infty }

frac{R_n^{(n+1)}(

xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}=0$$

证毕。

泰勒展开式常用公式推导

泰勒级数展开公式如下图所示。

其中x0x0为区间（a,b)中的某一点， x0∈（a,b)，变量xx也在区间（a,b)内。展开条件是：有实函数f，f在闭区间［a,b]是连续的，f在开区间（a,b)是n+1阶可微。

泰勒公式来源：

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

8个常用泰勒公式展开

泰勒展开式常用公式推导是x^a=x0^a+ax0^（a-1）（x-x0）+a（a-1）x0^（a-2）（x-x0）^2/2+…+a（a-1）…（a-n+1）（x-x0）^n!+o（x-x0）^n。

拉尔夫·泰勒（Ralph W. Tyler）是美国著名教育学家、课程理论专家、评价理论专家。他是现代课程理论的重要奠基者，是科学化课程开发理论的集大成者。由于对教育评价理论、课程理论的卓越贡献，泰勒被美誉为“当代教育评价之父”。

他在1949年出版的《课程与教学的基本原理》被誉为“现代课程理论的圣经”。其提出的“泰勒原理”被公认为课程开发原理最完美、最简洁、最清楚的阐述，达到了科学化课程开发理论发展的新的历史阶段。

教育目标是非常关键的。首先，要对教育目标做出明智的选择，这必须考虑学生的需要、当代社会生活、学科专家的建议等多方面的信息；其次，用教育哲学和学习理论对已选择出来的目标进行筛选。

最后，陈述教育目标，每一个教育目标包括行为和内容两个方面，这样可以明确教育的职责。泰勒认为目标是有意识地想要达到的目的，也就是学校教职员工期望实现的结果。教育目标是选择材料、勾划内容、编制教学程序、以及制定测验和考试的准则。

组织学习经验

在组织学习经验时，应遵守三个准则：连续性（continuity）顺序性（sequence）和整合（integration）。连续性指直线式地陈述主要的课程要素；顺序性是强调每一后续经验以前面的经验为基础，同时又对有关内容加以深入、广泛的展开。

整合性是指各种学习经验之间的横向关系，便于学生获得统一的观点，并把自己的行为统一的观点，把自己的行为与所学的课程内容统一起来。

常见的泰勒公式展开式是什么？

8个常用泰勒公式展开如下：

1、e^x=1+(1/1!)x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3+o(x^3)；

2、ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)；

3、sinx=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5+o(x^5)；

4、arcsinx=x+(1/2)*[(x^3)/3]+[(1*3)/(2*4)][(x^5)/5]+[(1*3*5)/(2*4*6)][(x^7)/7]+o(x^7)；

5、cosx=1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4+o(x^4)；

6、1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+o(x^3)；

7、(1+z)^a=1+(a/1!)x+[a(a-1)/2!]x^2+[a(a-1)(a-2)/3!]x^3+o(x^3)；

8、tanx=x+(x^3)/3+[2(x^5)]/15+o(x^5)。

相关信息：

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

14世纪，玛达瓦发现了一些特殊函数，包括正弦、余弦、正切、反正切等三角函数的泰勒级数。

17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干麦克劳林级数。直到1712年，英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方法，这就是为人们所熟知的泰勒级数；爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授发现了泰勒级数的特例，称为麦克劳林级数。

内容如下：

1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正弦展开公式，在求极限的时候可以把sinx用泰勒公式展开代替。

2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正弦展开公式，在求极限的时候可以把arcsinx用泰勒公式展开代替。

3、tanx=x+1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正切展开公式，在求极限的时候可以把tanx用泰勒公式展开代替。

4、arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正切展开公式，在求极限的时候可以把arctanx用泰勒公式展开代替。

5、ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的ln(1+x)展开公式，在求极限的时候可以把ln(1+x)用泰勒公式展开代替。

6、cosx=1-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的余弦展开公式，在求极限的时候可以把cosx用泰勒公式展开代替。

几何意义：

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。